Najważniejsze informacje w skrócie

Dzięki trzeciemu prawu Keplera powstały satelity telekomunikacyjne. Jak sama nazwa mówi satelity te umożliwiają komunikację, czyli teletransmisję sygnałów radiowych, telewizyjnych oraz danych. Jest, to możliwe dzięki temu, że przez cały czas, czyli 24h na dobę „wiszą” one w tym samym miejscu na niebie. Skoro z powierzchni Ziemi są one widziane jako nieruchome, tzn., że kręcą się wokół Ziemi z tą samą prędkością, z jaką Ziemia rotuje wokół własnej osi. Aby tak było satelita musi być umieszczony na określonej wysokości nad powierzchnią Ziemi, czyli na orbicie geostacjonarnej (GEO). I właśnie z III prawa Keplera możemy wyliczyć tą wysokość. III prawo Keplera określa zależność między okresem orbity, a jej promieniem.

 

 

 

 

 

 

Z prawa tego wynika, że im większa orbita, tym dłuższy okres obiegu oraz, że prędkość liniowa na orbicie jest odwrotnie proporcjonalna do pierwiastka promienia orbity (dla orbity kołowej).

Czyli konkretnie dla Ziemi wysokość orbity geostacjonarnej GEO z systemem trzech, czterech satelit rozmieszczonych w płaszczyźnie równikowej, to dość sporo, bo prawie 36 tysięcy kilometrów nad powierzchnią Ziemi. Tak duża wysokość ma swoje minusy główny, to opóźnienia transmitowanego sygnału. No i przetransportowanie satelity na tak dużą wysokość wymaga kosztownych systemów rakietowych.


Powiązania z innymi zagadnieniami

  • I prędkość kosmiczna

Pełny opis dla tych, którzy wolą czytać

Aby spełnić odwieczne marzenie człowieka o podboju kosmosu, najpierw trzeba było zatroszczyć się o komunikację między obiektem wysyłanym w przestrzeń kosmiczną, a ludźmi na ziemi. I jak pewnie Ci wiadomo w tym celu zbudowano satelity i umieszczono je na orbicie okołoziemskiej.

Ale, aby mieć 24 godzinną łączność z takim satelitą komunikacyjnym trzeba było spełnić pewien warunek. Mianowicie uwzględniając, iż pełny obrót ziemi wokół własnej osi wynosi 24 godziny trzeba było znaleźć taki promień orbity, na której okres obiegu satelity będzie również wynosił 24godziny. Orbitę taką nazwano geostacjonarną. Tylko wtedy , gdy satelita znajdzie się na orbicie geostacjonarnej, przez cały czas będzie zawieszony nad tym samym punktem powierzchni na ziemi.

Wtedy wystarczy wycelować w określony punkt nieba naziemne nadajniki i odbiorniki, by przez cały czas mieć dostęp do kanałów komunikacyjnych. A naziemne stacje przekaźnikowe będą wysyłać sygnały do satelity i odbierać je z niego przez całą dobę.

Zastanówmy się teraz jak znaleźć promień takiej orbity. W momencie, gdy satelita znajdzie się na orbicie siła grawitacji będzie działać zawsze do środka Ziemi, czyli pełni ona funkcję siły dośrodkowej.

Siłę dośrodkową można przedstawić na dwa sposoby: albo za pomocą prędkości liniowej albo za pomocą prędkości kątowej. Nam przyda się zależność z prędkością kątową, bo jest ona powiązana z okresem obrotu, a przecież jest on dla nas kluczowy.

 

Przypomnijmy jeszcze wzór na siłę grawitacji dla dużych odległości:

 

 

 

 

A teraz przyrównajmy obie siły do siebie i uprośćmy zapis. Przekształćmy wzór tak, aby wyznaczyć promień orbity. W tym celu pomnóżmy obustronnie przez sześcian promienia i podzielmy przez kwadrat prędkości kątowej:

 

 

Teraz przedstawmy prędkość kątową omega poprzez iloraz 2pi przez T:

 

 

 

 

Podstawiamy do wzoru na promień. W otrzymanej zależności zmienne są tylko promień i okres obrotu, pozostałe wielkości, to stałe:

 

 

Skoro zmienne są tylko promień i okres obrotu, oznacza to, że na podstawie otrzymanego wzoru możemy obliczyć promień orbity geostacjonarnej. Co więcej otrzymany wzór jest znany jako III prawo Keplera, które określa zależność między okresem orbity, a jej promieniem.

 

Wiemy już prawie wszystko aby obliczyć jak wysoko nad Ziemią znajduje się orbita geostacjonarna. Jeszcze tylko jeden szczegół. Mianowicie z III prawa Keplera otrzymamy odległość orbity od środka Ziemi, a nas interesuje wysokość orbity nad powierzchnią Ziemi. Czyli z pewnością trzeba wsiąść pod uwagę promień Ziemi:

 

Zbierzmy teraz wszystkie informacje. Z pewnością interesuje nas pojedynczy promień, więc należy spierwiastkować III prawo Keplera:

 

 

Teraz wypiszmy dane w układzie SI. Okres obiegu równy 24 h zapiszmy w sekundach. Promień ziemi również nam się przyda tylko za chwilkę. Przeliczmy jeszcze jednostki. W mianowniku nie ma żadnej wielkości mianowanej więc zostają jednostki tylko z licznika:

 

Podstawmy teraz wielkości liczbowe. Osobno przeliczmy liczby osobno rzędy wielkości, czyli potęgę liczby 10. W efekcie otrzymujemy wynik równy 4,22 razy 10 do 7 metra. Czyli otrzymaliśmy odległość jaka dzieli orbitę od środka ziemi.

 

 

Ale nas tak naprawdę interesuje odległość orbity od powierzchni ziemi. Czyli musimy od otrzymanej wartości promienia r odjąć wartość promienia ziemi. Ostatecznie otrzymaliśmy dość spory wynik. Bo okazuje się ze wysokość orbity geostacjonarnej nad powierzchnią ziemi to około 3,6 *10 do 7 metra, czyli prawie 36 tysięcy kilometrów nad powierzchnia Ziemi.