Najważniejsze informacje w skrócie

pierwsza prędkość kosmiczna

Pierwsza prędkość kosmiczna określa największą wartość prędkości liniowej, z jaką ciało będzie krążyć dokoła planety po orbicie kołowej, czyli:

 

We wzorze mamy masę planety w liczniku, co oznacza że dla każdej planety pierwsza prędkość kosmiczna będzie mieć inną wartość. I tak przykładowo dla Ziemi wynosi ona w przybliżeniu 7 900 m/s co daje 7,9 km/s. Wyobrażasz sobie tą prędkość? Prawie 8 kilometrów w ciągu 1 sekundy. To jest aż 28 tysięcy 440 km/h !


Powiązania z innymi zagadnieniami

Pełny opis dla tych, którzy wolą czytać

Zastanówmy się teraz co zrobić aby umieścić ciało na orbicie okołoziemskiej? I jak to możliwe że satelity nie spadają na powierzchnię ziemi? Przecież każde ciało które znajduje się w polu grawitacyjnym planety zostaje przyciągane do jej powierzchni. A jednak da się umieścić sztucznego satelitę na orbicie okołoziemskiej.

 

rzut poziomy

Aby to zrozumieć wyobraź sobie że rzucasz piłką w kierunku poziomym. Jasne jest, że im większą prędkość nadasz piłce tym większy będzie zasięg rzutu. Nasuwa się więc pytanie czy istnieje taka wartość prędkości, którą nadając piłce w kierunku poziomym spowodujesz, iż piłka nie spadnie więcej na powierzchnię ziemi tylko będzie krążyć dookoła niej po orbicie kołowej z prędkością v1? W naszym przypadku pomijamy opory ruchu a bierzemy pod uwagę tylko działanie siły grawitacji na piłkę.

 

 

Siła dośrodkowa

Skoro istnieje tylko siła grawitacji a piłka ma się poruszać po okręgu oznacza to, że siła grawitacji ma być równa sile dośrodkowej. Siłę dośrodkową można przedstawić w zależności od prędkości liniowej lub kątowej. My teraz skorzystamy z zależności z prędkością liniową, ponieważ jest ona dla nas kluczowa.

 

obliczenia pierwszej prędkości kosmicznej

Przyrównajmy teraz siłę dośrodkową do grawitacyjnej. Uprośćmy zapis. W tym celu obustronnie dzielimy przez masę piłki i mnożymy przez odległość. Pozostaje jeszcze spierwiastkować otrzymane równanie.

 

 

pierwsza prędkość kosmiczna dla ZiemiI mamy wzór na prędkość jaką należy nadać ciału, aby umieścić je na orbicie kołowej. Prędkość ta nazywana jest pierwszą prędkością kosmiczną.  Jeżeli teraz w otrzymanym wzorze podstawimy za duże M masę Ziemi a za r promień ziemi to otrzymamy wartość I prędkości kosmicznej dla ziemi. Przeliczmy na samym początku jednostki. Rozpiszmy niuton z definicji i uprośćmy co się da. W efekcie  otrzymujemy m/s.

 

pierwsza prędkość kosmiczna obliczenia

Podstawmy teraz wartości. Przeliczmy osobno liczby, osobno rzędy wielkości.

 

 

pirewsza prędkość kosmiczna dla Ziemi

 

Ostateczne w przybliżeniu otrzymujemy 7 900m/s co daje 7,9 km/s.

 

Zauważmy że w otrzymanym wzorze prędkość jest odwrotnie proporcjonalna do odległości od środka planety. Czyli dla Ziemi najmniejszym promieniem orbity może być jej promień i to dla tej wartości prędkość poruszania się piłki po orbicie będzie największa równa pierwszej prędkości kosmicznej. A wraz ze wzrostem promienia orbity będą maleć prędkości z jakimi poruszają się satelity na orbitach. Sprawdźmy to na przykładzie satelity geostacjonarnego, który znajduje się na wysokości 36 tysięcy kilometrów nad powierzchnią Ziemi.

 

prędkość satelity geostacjonarnego

Zapiszmy wzór na prędkość satelity geostacjonarnego z uwzględnieniem jego wysokości nad ziemią. Podstawmy wartości liczbowe. Osobno przeliczmy rzędy wielkości. Wynik, który otrzymujemy to koło 3000 m/s co daje około 3 km /s co czyli około 11 000 km/h.

 

 

 

Czyli jak widać ponieważ satelita jest wysoko nad powierzchnią ziemi to jego prędkość jest dużo mniejsza od pierwszej prędkości kosmicznej, która wynosi aż 28 440 km/h.